引言
本篇文档详细说明了单目、双目、多目测距的工作原理，给出了具体的数学公式、变量定义以及详细步骤，并对每种方法的优缺点进行了分析。
目录
引言1. 单目测距1.1 单目测距原理概述1.2 数学模型与公式推导1.2.1 透视投影模型1.2.2 基于尺寸比例的测距1.2.3 基于几何关系的测距1.2.4 深度学习模型测距
1.3 单目测距实现步骤1.3.1 摄像头标定1.3.2 图像预处理与目标检测1.3.3 深度计算1.3.4 优化与误差处理
1.4 单目测距优缺点分析
2. 双目测距2.1 双目测距原理概述2.2 数学模型与公式推导2.2.1 针孔相机模型2.2.2 双目测距公式推导2.2.3 图像矫正与对极线约束
2.3 双目测距实现步骤2.3.1 双目相机标定2.3.2 图像矫正与对极几何2.3.3 立体匹配与视差计算2.3.4 深度计算
2.4 双目测距优缺点分析
3. 多目测距3.1 多目测距原理概述3.2 数学模型与公式推导3.3 多目测距实现步骤3.4 多目测距优缺点分析
4. 总结
1. 单目测距
1.1 单目测距原理概述
单目测距（Monocular Distance Estimation）是通过单个摄像头来估算场景中的目标深度或距离的一种方法。单目摄像头无法直接捕获深度信息，其深度估计主要依赖于场景的透视几何关系、目标物体的已知尺寸、或基于时间序列的运动特性。
单目测距的三种常见方法：
基于尺寸比例的测距：
利用物体的实际尺寸与其在图像中的投影尺寸关系来估算距离。适用于目标的实际物理尺寸已知的情况。 基于几何关系的测距：
通过分析场景中的几何特征（如地平线、俯仰角）来计算距离。多用于固定安装的摄像头场景。 基于深度学习的测距：
使用神经网络从图像中直接回归深度信息。无需精确的相机模型，但依赖大量标注数据进行训练。
1.2 数学模型与公式推导
1.2.1 透视投影模型
单目测距的核心是针孔相机模型。针孔相机的透视投影关系如下：
X
Z
=
x
f
,
Y
Z
=
y
f
\frac{X}{Z} = \frac{x}{f}, \quad \frac{Y}{Z} = \frac{y}{f}
ZX=fx,ZY=fy
变量定义：
( (X, Y, Z) )：物体在相机坐标系中的三维坐标，单位为米。
( X ) 和 ( Y ) 分别表示物体在水平和垂直方向上的位移。( Z ) 表示物体与相机的距离（深度）。 ( (x, y) )：物体在图像平面上的像素坐标。( f )：相机的焦距，单位为像素。
从上述公式可得，目标的深度 ( Z ) 表示为：
Z
=
f
⋅
X
x
,
Z
=
f
⋅
Y
y
Z = \frac{f \cdot X}{x}, \quad Z = \frac{f \cdot Y}{y}
Z=xf⋅X,Z=yf⋅Y
1.2.2 基于尺寸比例的测距
假设目标物体的实际高度为 ( H )，其在图像中的高度为 ( h )，则根据相似三角形原理，深度 ( Z ) 可表示为：
Z
=
f
⋅
H
h
Z = \frac{f \cdot H}{h}
Z=hf⋅H
变量定义：
( H )：物体的实际高度，单位为米。( h )：物体在图像中的高度，单位为像素。( Z )：目标与相机的距离（深度），单位为米。
1.2.3 基于几何关系的测距
当摄像头的安装高度 ( h_{\text{cam}} ) 已知时，可通过俯仰角 ( \theta ) 计算目标的深度 ( Z )：
Z
=
h
cam
tan
(
θ
)
Z = \frac{h_{\text{cam}}}{\tan(\theta)}
Z=tan(θ)hcam
变量定义：
( h_{\text{cam}} )：摄像头到地面的高度，单位为米。( \theta )：摄像头的俯仰角，单位为弧度。( Z )：目标的深度，单位为米。
1.2.4 深度学习模型测距
深度学习方法通常直接将图像输入神经网络，输出每个像素的深度值 ( Z )。此过程无需明确的相机模型。
1.3 单目测距实现步骤
1.3.1 摄像头标定
单目测距需要首先标定摄像头的内参矩阵 ( K )，其表达式为：
K
=
[
f
x
0
c
x
0
f
y
c
y
0
0
1
]
K = \begin{bmatrix} f_x & 0 & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
K=
fx000fy0cxcy1
其中：
( f_x, f_y )：相机的焦距（单位为像素）。( (c_x, c_y) )：相机的主点坐标（单位为像素）。
标定步骤：
使用标定板拍摄多张图像。提取棋盘格角点。使用 OpenCV 等工具计算内参矩阵。
1.3.2 图像预处理与目标检测
对图像进行边缘检测（如 Canny 算法）。使用目标检测算法（如 YOLO）定位目标位置。
1.3.3 深度计算
根据前述公式计算深度 ( Z )。若已知目标高度 ( H )，可直接使用公式：
Z
=
f
⋅
H
h
Z = \frac{f \cdot H}{h}
Z=hf⋅H
若基于几何关系测距，则通过俯仰角计算深度：
Z
=
h
cam
tan
(
θ
)
Z = \frac{h_{\text{cam}}}{\tan(\theta)}
Z=tan(θ)hcam
1.3.4 优化与误差处理
使用多帧融合降低噪声。引入滤波算法（如卡尔曼滤波）优化深度结果。
1.4 单目测距优缺点分析
优点：
硬件成本低。适用于简单场景。
缺点：
精度有限。依赖目标尺寸和先验信息。
2. 双目测距
2.1 双目测距原理概述
双目测距（Stereo Vision）是通过两个相机从不同视角获取目标图像，并利用视差原理进行深度估算的一种方法。它模拟了人类双眼的工作方式，能够直接感知场景的深度信息，是一种广泛应用的三维重建技术。
双目测距的核心思想：
当两个摄像头的相对位置和内外参信息已知时，通过寻找同一物体在左、右图像中的匹配点（即视差点），可以利用几何关系计算目标的深度。其核心是 三角测量法，即通过已知的基线长度和视差大小推导目标深度。
双目测距主要包含以下几个步骤：
摄像头标定：确定双目相机的内外参。图像矫正：将左右图像校正到对极线约束下，以简化匹配点搜索。立体匹配：寻找左、右图像中对应的匹配点，计算视差图。深度计算：根据视差值和双目相机参数计算目标的深度。
2.2 数学模型与公式推导
双目测距的数学模型基于针孔相机模型和三角测量原理。
2.2.1 针孔相机模型
针孔相机模型描述了物体在三维空间中的点 ((X, Y, Z)) 如何投影到二维图像平面上：
X
Z
=
x
f
,
Y
Z
=
y
f
\frac{X}{Z} = \frac{x}{f}, \quad \frac{Y}{Z} = \frac{y}{f}
ZX=fx,ZY=fy
这里：
( (X, Y, Z) )：物体在相机坐标系中的三维坐标，单位为米；( (x, y) )：物体在图像平面上的像素坐标；( f )：相机焦距，单位为像素；( Z )：物体的深度（与相机的距离），单位为米。
从上述公式可以得出物体的深度 ( Z ) 表示为：
Z
=
f
⋅
X
x
,
Z
=
f
⋅
Y
y
Z = \frac{f \cdot X}{x}, \quad Z = \frac{f \cdot Y}{y}
Z=xf⋅X,Z=yf⋅Y
2.2.2 双目测距公式推导
设两台相机的基线长度（两个相机光心之间的距离）为 ( B )，一个物体在左相机图像中的像素坐标为 ( x_L )，在右相机图像中的像素坐标为 ( x_R )，则视差 ( d ) 定义为：
d
=
x
L
−
x
R
d = x_L - x_R
d=xL−xR
根据三角测量原理，目标深度 ( Z ) 的计算公式为：
Z
=
f
⋅
B
d
Z = \frac{f \cdot B}{d}
Z=df⋅B
变量定义：
( Z )：目标深度（物体到相机的距离），单位为米；( f )：相机焦距，单位为像素；( B )：基线长度，单位为米；( d )：视差，单位为像素；( x_L )：物体在左图像中的像素坐标；( x_R )：物体在右图像中的像素坐标。
2.2.3 图像矫正与对极线约束
在实际应用中，双目相机采集的左右图像可能存在一定的畸变或角度偏差。为了简化视差计算，需要对图像进行校正，使同一目标在左右图像中的对应点位于同一水平线上（满足对极线约束）。
矫正后的左右图像可以通过以下几何关系计算目标深度：
Z
=
f
⋅
B
x
L
−
x
R
Z = \frac{f \cdot B}{x_L - x_R}
Z=xL−xRf⋅B
2.3 双目测距实现步骤
双目测距的实现包括以下关键步骤：
2.3.1 双目相机标定
双目相机的标定需要计算两台相机的内参、外参以及两者之间的相对位置关系（基线长度 ( B )）。具体步骤如下：
拍摄标定图像：利用棋盘格标定板拍摄多组左右相机的同步图像。提取角点信息：对标定图像进行角点检测，提取棋盘格的特征点。计算相机内参：使用多视几何算法求解相机的内参矩阵。确定相机外参：通过标定图像计算两台相机之间的旋转矩阵和平移向量。
2.3.2 图像矫正与对极几何
利用相机标定结果，将左右相机图像矫正到同一视图平面，使匹配点对满足对极线约束。
2.3.3 立体匹配与视差计算
特征提取：对左右图像提取关键点特征（如 SIFT、ORB 特征）。匹配点搜索：利用特征匹配算法寻找左右图像中的对应点。生成视差图：通过计算左右图像中匹配点的像素差值生成视差图。
2.3.4 深度计算
通过公式
Z
=
f
⋅
B
d
Z = \frac{f \cdot B}{d}
Z=df⋅B 计算每个像素的深度，最终生成场景的深度图。
2.4 双目测距优缺点分析
优点：
能够直接获取场景的深度信息，生成高密度深度图。无需依赖物体的已知尺寸或其他先验信息。
缺点：
对摄像头标定精度和视差计算算法要求较高。在光照变化或纹理稀疏的区域，视差匹配容易失败。
3. 多目测距
3.1 多目测距原理概述
多目测距（Multi-Camera Depth Estimation）是通过多个摄像头从不同视角采集图像，结合多视几何原理进行深度计算的方法。多目测距通过增加摄像头的数量，提高了深度估计的精度和鲁棒性。
多目测距的特点：
多基线长度：不同摄像头对同一目标物体的视差具有不同的基线长度，有助于在远距离场景中提高深度估计的分辨率。多视角融合：从不同视角捕获的图像能够减少视差匹配中的模糊和遮挡问题。三维重建：多目测距可以生成场景的高精度三维模型。
3.2 数学模型与公式推导
多目测距基于多视几何模型。假设有 ( N ) 台摄像头，它们的投影模型分别为：
u
i
=
K
i
⋅
[
R
i
∣
t
i
]
⋅
P
,
i
=
1
,
2
,
…
,
N
\mathbf{u}_i = \mathbf{K}_i \cdot \left[ \mathbf{R}_i | \mathbf{t}_i \right] \cdot \mathbf{P}, \quad i = 1, 2, \dots, N
ui=Ki⋅[Ri∣ti]⋅P,i=1,2,…,N
其中：
u_i ：第 ( i ) 台相机的图像坐标，单位为像素；K_i ：第 ( i ) 台相机的内参矩阵；R_i, t_i ：第 ( i ) 台相机的旋转矩阵和平移向量；P：三维点的空间坐标。
通过联合多个视角的信息，可以利用多视几何优化深度估计的结果。
3.3 多目测距实现步骤
多相机标定：对所有相机进行联合标定，计算每台相机的内外参。特征匹配与视差计算：在多个视角的图像中提取特征点，并进行多视角匹配。深度优化：利用多视几何原理优化深度估计结果，生成全局一致的深度图或三维模型。
3.4 多目测距优缺点分析
优点：
提高了深度估计的鲁棒性和精度。有效解决了单目和双目测距中的遮挡问题。
缺点：
硬件复杂度高，成本较高。数据处理量大，对计算资源要求较高。
4. 总结
本文详细介绍了单目、双目和多目测距的原理、数学模型和实现步骤。每种方法均具有不同的适用场景和技术特点，其中单目测距成本最低，双目测距平衡了精度和复杂度，而多目测距适用于高精度的三维重建任务。
特性单目测距双目测距多目测距原理使用单个摄像头，通过透视或深度学习估算深度。使用两个相机，通过视差计算深度。使用多个相机，通过多视几何优化深度估计。焦距相机焦距 ( f )相机焦距 ( f )各个相机的焦距 ( f_i )深度计算方式基于尺寸、几何关系或深度学习模型估算深度。基于相机间的视差计算深度。基于多个相机的视角，通过三角测量和几何优化计算深度。硬件要求仅需单个摄像头，成本较低。需要两台相机，成本较高。需要多个相机，成本较高，且需要复杂的同步与标定。标定要求仅需对摄像头进行内参标定。需要对两个相机进行内外参标定以及相对位置标定。需要对多个相机进行内外参标定，并计算相机间的相对位置。视差计算无视差计算，依赖单一视角。计算视差 ( d = x_L - x_R )，从而得到深度。利用多个视角同时进行深度估计，无单一视差计算。计算复杂度计算简单，但深度精度较低。需要进行视差匹配，计算复杂度较高。计算最复杂，需要多个视角的优化计算，适合大规模场景。精度精度受限，尤其在深度远离相机时精度较低。相对较高，深度较近时精度较好，远离时下降较快。精度高，尤其在复杂场景和大范围深度估算时。深度估算能力适合估算目标物体的相对深度。能够精确估算目标的绝对深度。适合处理复杂的深度估算任务，能够优化多个视角的结果。计算结果得到目标物体的估算深度。得到目标物体的实际深度。得到全局优化后的目标深度图。精度影响因素依赖相机焦距、物体尺寸、场景特征等。依赖相机基线长度、视差计算精度等。依赖多个视角的配准精度、相机同步性、标定精度等。应用场景适用于低成本、低精度的应用，如无人机、手机等。适用于需要较高精度的应用，如立体视觉、机器人导航。适用于高精度应用，如三维重建、自动驾驶、虚拟现实等。优点硬件成本低，简单易用。提供较高精度，适合大多数深度估算任务。提供最高精度，能够处理大规模和复杂环境。缺点依赖先验信息，精度受限。需要标定和视差计算，硬件要求较高。成本高，计算复杂，要求多个相机同步。实时性适用于实时场景，如移动设备上的深度估计。需要较高的计算能力，适用于实时深度估计。需要高性能计算设备，适用于离线或半实时深度估计。